0.999999999... = 1 à? Có nhẽ đâu thế!

wasabi
21-06-06, 17:58
Các bác thân mến, chắc hẳn nếu bác nào đọc cái bài gì mà giải đố [phần 2] của em thì đã biết có một bài là 0.99999999999999999999999... = 1. Có thằng nó chứng minh bằng cách sau:

x = 0.99999999999999999999999...
-> 10x = 9.999999999999999999999999999...
-> 10x - x = 9.0000000000000000000000
-> x = 1

Sai ở chỗ nào?

Nay ở trên mạng có một bài gây xôn xao dư luận về cái 0.9999999999... = 1 ấy. Các bác nhà mình giỏi toán (không bắt bẻ từng câu từng chữ của bác này) - thử đánh giá bác này xem. Theo em đây là cách suy nghĩ rất "bạo gan", và nó cũng có lý chứ không phải không.

Trong lúc các bác nhà mình đọc cái này em xin phép giải quyết hậu quả của lão Mê Cá Độ.


No, I'm Sorry, It Does.

Every year I get a few kids in my classes who argue with me on this. And there are arguers all over the web. And I just know I'm going to get contentious "but it just can't be true" whiners in my comments. But I feel obliged to step into this fray.

.9 repeating equals one. In other words, .9999999... is the same number as 1. They're 2 different ways of writing the same number. Kind of like 1.5, 1 1/2, 3/2, and 99/66. All the same. I know some of you still don't believe me, so let me say it loudly:

http://polymathematics.typepad.com/photos/uncategorized/9s_equals

Do you believe it yet? Well, I do have a couple of arguments besides mere size. Let's look at some reasons why it's true. Then we'll look at some reasons why it's not false, which is something different entirely. The standard algebra proof (which, if you modify it a little, works to convert any repeating decimal into a fraction) runs something like this. Let x = .9999999..., and then multiply both sides by 10, so you get 10x = 9.9999999... because multiplying by 10 just moves the decimal point to the right. Then stack those two equations and subtract them (this is a legal move because you're subtracting the same quantity from the left side, where it's called x, as from the right, where it's called .9999999..., but they're the same because they're equal. We said so, remember?):

http://polymathematics.typepad.com/photos/uncategorized/9s_algebra

Surely if 9x = 9, then x = 1. But since x also equals .9999999... we get that .9999999... = 1. The algebra is impeccable.

But I know that this is unconvincing to many people. So here's another argument. Most people who have trouble with this fact oddly don't have trouble with the fact that 1/3 = .3333333... . Well, consider the following addition of equations then:

http://polymathematics.typepad.com/photos/uncategorized/9s_thirds

This seems simplistic, but it's very, very convincing, isn't it? Or try it with some other denominator:

http://polymathematics.typepad.com/photos/uncategorized/9s_elevenths

Which works out very nicely. Or even:

http://polymathematics.typepad.com/photos/uncategorized/9s_sevenths

It will work for any two fractions that have a repeating decimal representation and that add up to 1.

Those are my first two demonstrations that our fact is true (the last one is at the end). But then the whiners start in about all the reasons they think it's false. So here's why it's not false:

* ".9 repeating doesn't equal 1, it gets closer and closer to 1."

May I remind you that .9 repeating is a number. That means it has it's place on the number line somewhere. Which means that it's not "getting" anywhere. It doesn't move. It either equals 1 or it doesn't (it does of course), but it doesn't "get" closer to 1.

* ".9 repeating is obviously less than 1."

Hmmmm...it might be obvious to you, but it's not obvious to me. Is it really less than 1? How much less than 1? No, seriously...tell me how much less? What is 1 minus .99999999...?

http://polymathematics.typepad.com/photos/uncategorized/9s_1_minus

Really???? Infinitely many zeros and then after the infinite list that never ends, there's a 1???? Surely that's stranger than the possibility that .9 repeating simply does equal 1. Or for something even stranger, consider this: if .9 repeating is less than 1, then we ought to be able to do something very simple with those two numbers: find their average. What's the number directly between the two? Or for that matter, name any number between the two. Let me guess: the average is .99999...05? So after this infinite list of 9s, there's the possibility of starting up multiple-digit extensions? Doesn't that just raise the obvious question: What about .9999999...9999999...? Namely, infinitely many 9s, and then after that infinite list, there's another infinite list of 9s? How, exactly is that different from the original infinite list of 9s? If you saw it written out, where would the break between the lists be?

I'm afraid that if you apply the "huh??" test of strangeness, you get a much higher strangeness factor if you say that .9999999... is not 1 than you do if you say it is 1.

* "Uhhhhh, I'm sorry, but I still don't believe you. .99999... just can't equal 1."

Well, let's look a little more carefully at what we really mean by .999999...:

http://polymathematics.typepad.com/photos/uncategorized/9s_series

This equation isn't really up for debate, right? It's simply the meaning of our place value system made explicit. That thing on the right hand side is called an infinite geometic series. They have been studied extensively in math. The word "geometric" means that each term of the series is the identical multiple (in this case 1/10) of the previous term. The definition of the sum of an infinite geometric series (and other series, too, but we won't get into those) goes something this:

1. Start making a list of partial sums: the sum of the first one number, then the sum of the first two numbers, then the sum of the first three, etc.
2. Examine your list closely. In this case the list is: .9, .99, .999, .9999, .... (Note that the actual number .99999.... is not on the list, since every number on the list has finitely many 9s.)
3. Find some numbers that are bigger than every single number on your list. Like 53, 3.14, and a million.
4. Of all the numbers that are bigger than every number on your list, find the smallest possible such number. I think we can all agree that this smallest number is 1.
5. That smallest number that can't be exceeded by anything on the list is the definition of the sum of the geometric series.

Notice that I keep putting the word definition in bold face. (See, I did it again!) That's because it's a definition, which isn't really up for debate. It is the nature of a mathematical definition that once you acccept it, you have to agree to its consequences. In other words, .99999... = 1 by the definition of the sum of a geometric series. It's also true if you use the popular formula

a/(1 - r) with a = 9/10, and r = 1/10.

We're left with this: merely saying ".99999... doesn't equal 1" admits the fact that this number .99999... exists. And if it exists, it equals 1 by definition. The only way out for you now, if you still don't believe it, is to have a different working definition of the sum of an infinite series (go talk to some math professors, and see how far you get) or to deny the very existence of the number .9999.... I have seen a lot of people doubt that the number equals 1, but very few of them are willing to deny the very existence of that number. If you want to play "there's no such thing as infinitely long decimal representations," I'm afraid you won't get very far, because there's always the number pi to worry about, too, you know.

Okay, so there's my rant. .9 repeating equals one. No, I'm sorry, it does.

http://polymathematics.typepad.com/polymath/2006/06/no_im_sorry_it_.html

PS: http://adrake.blogdns.com/wp-content/uploads/proof.9equals1.pdf
Gaup
21-06-06, 18:38
Giả sử dãy số này có số chữ số 9 hữu hạn n sau decimal point, ở đây n=3.
0.999
nhân 10 = 9.99, khi nhân 10 số các chữ số 9 sau decimal point chỉ còn n-1, ở đây =2.

có thể thấy phần lẻ của 10x và x không bằng nhau: phần lẻ của 10x là n chữ số trong đó có n-2 số 9 và số n là 0. Kết quả của phép trừ sẽ là một số có hai số tận cùng bằng 91 dẫn trước đó là n-2 số 9 tính tới decimal point. Trước đó là 8. Phần lẻ lớn bao nhiêu thì cả số này chia 9 ko thể bằng 1.

Đ hiểu anh ăn gì mà tính ngu quá. Sửa lại cái.
wasabi
21-06-06, 18:51
Thế thì bác Gấu có vấn đề ngay ở cái chỗ n-1<n. Đến khi n=∞ thì n-1 với n chả nghĩa lý gì hết.

Nói một cách thô thiển hơn, thì là bác em cho rằng x=0.99999999999... => 10x=9.9999999999999999...99990. Thế thì cái gì nhân 10 sẽ bằng 9.99999999999...999 đây?

-----------

Bây giờ các bác thử nhân cái này với cái này xem ra bao nhiêu:
0.999999999999999999999999...... x 0.999999999999999999999........ Không lẽ nó nhỏ hơn 0.999999999999999999999999...... ? Mà nếu nó nhân vào nhau Không Nhỏ Hơn Nó thì nó chính là 1 vậy.

Ở cái blog của bác viết cái này thì số người chống đối nhiều một cách khủng khiếp. Mà người ủng hộ cũng đông không kém.

Mà thêm nữa, có một thằng cha sinh viên toán nó comment như thế này:
Anh thấy buồn cười các chú quá. Anh là sinh viên toán trong trường thì anh biết dĩ nhiên là cái 0.99... = 1. Có cả ngàn cách chứng minh nó.


Ký hiệu copy-paste: [ ÷ × ½ √ ∞ ≠ ≤ ≥ ≈ ⇒ ± ∈ Δ θ ∴ ∑ ∫ • π ƒ -¹ ² ³ ° ]
Chatmate
21-06-06, 18:59
Gaup tính đúng rồi, và đó chính là cái sai ở đây.

@bím: khi n=oo thì 0.9999999999999999999999999.... =1. Khái niệm vô cùng thực ra làm gì có thật nên 0,9999999999999 kéo dài bao nhiêu nữa thì cũng chỉ tiệm cận 1 chứ không bao giò là 1 cả, vẫn có phần chênh và phần chênh n-1 và n của Gaup tiến tới 0 chứ không bao giờ bằng 0
wasabi
21-06-06, 19:06
Gaup tính đúng rồi, và đó chính là cái sai ở đây.

@bím: khi n=oo thì 0.9999999999999999999999999.... =1. Khái niệm vô cùng thực ra làm gì có thật nên 0,9999999999999 kéo dài bao nhiêu nữa thì cũng chỉ tiệm cận 1 chứ không bao giò là 1 cả, vẫn có phần chênh và phần chênh n-1 và n của Gaup tiến tới 0 chứ không bao giờ bằng 0
Ý bác "không có thật" là sao? Mình đang tranh luận lý thuyết mà.

OK - Bác em nói là 0.99.. < 1. Lưu ý ở đây không có khái niệm Tiến Tới - vì cái số 0.99.. nó có chạy đé,o đâu mà bác bảo nó tiến tới. Cộng tổng thì nó mới tiến tới.

PS: 1/3=0.3333... Cái này đúng bằng, chứ không xấp xỉ gì hết.
namcs
21-06-06, 19:44
Thế thì bác Gấu có vấn đề ngay ở cái chỗ n-1<n. Đến khi n=∞ thì n-1 với n chả nghĩa lý gì hết.

Nói một cách thô thiển hơn, thì là bác em cho rằng x=0.99999999999... => 10x=9.9999999999999999...99990. Thế thì cái gì sẽ bằng 9.99999999999...999 đây?

-----------

Bây giờ các bác thử nhân cái này với cái này xem ra bao nhiêu:
0.999999999999999999999999...... x 0.999999999999999999999........ Không lẽ nó nhỏ hơn 0.999999999999999999999999...... ? Mà nếu nó nhân vào nhau Không Nhỏ Hơn Nó thì nó chính là 1 vậy.

Ở cái blog của bác viết cái này thì số người chống đối nhiều một cách khủng khiếp. Mà người ủng hộ cũng đông không kém.

Mà thêm nữa, có một thằng cha sinh viên toán nó comment như thế này:
Anh thấy buồn cười các chú quá. Anh là sinh viên toán trong trường thì anh biết dĩ nhiên là cái 0.99... = 1. Có cả ngàn cách chứng minh nó.


Ký hiệu copy-paste: [ ÷ × ½ √ ∞ ≠ ≤ ≥ ≈ ⇒ ± ∈ Δ θ ∴ ∑ ∫ • π ƒ -¹ ² ³ ° ]

Cái mớ kết quả của cái lão gì đó là hệ quả của cái việc nói mà đe'o có cơ sở. Khi khẳng định nó đúng thì phải biết là mình đang dựa trên lí thuyết nào.

Ấy vậy mà các đồng chí bên blog gì ấy cứ lăn lê bò toài như 1 lũ bò sát, hố hố.

1. Vì sao ∞ = ∞ -1
2. Vì sao .33..(=1/3) + .66...(2/3)= 1?

Bấy nhiêu đã.
wasabi
21-06-06, 20:13
1. Vì sao ∞ = ∞ -1
2. Vì sao .33..(=1/3) + .66...(2/3)= 1?
1. Cái lý luận này làm em nhớ đến bài "Số lượng số tự nhiên và số lượng số chẵn, cái nào lớn hơn?" (xem thêm: "10.000 câu hỏi Vì sao") ko thể nói lượng số TN lớn gấp 2 lần lượng số chẵn, vì với mỗi số tự nhiên đều tìm được 1 số chẵn.

2.
x = 1/3 = 0.333333333333....
⇒ 3x = 1 = 0.99999999999...

Có vấn đề gì đâu?

PS: Bác Nam, bài trước em lấy ở mathisfun, nguyên văn của nó đây: http://www.mathsisfun.com/9recurring.html - nó cũng không khẳng định đúng sai gì hết.
namcs
21-06-06, 20:19
vấn đề là vì sao 0.333...*3=0.99999...?

nếu mà ta chỉ nói rất là đơn giản là "rõ ràng rồi" thì cũng rõ ràng rồi ta chả có cơ sở gì cả.

Cái chiện .33..*3=1 không phải là "sai ở chỗ nào?", mà vì sao bản thân nó đúng, ít nhứt là phải nói ra được là dựa trên lí thiết nào.
Gaup
21-06-06, 20:19
Hồi lớp 2 hay 3 gì đó đã được học quy tắc nhân với 10 là phải thêm số 0 vào sau, hàng đơn vị thành hàng chục, hàng chục thành hàng trăm. Cứ thế mà áp thì 10x tận cùng cũng sẽ có số 0 bất kể số các chữ số 9 đằng sau dấu phẩy là bao nhiêu. Hai phần lẻ của 10x và x không bằng nhau, trừ xọet cái thế là không được.

Giờ đ tính là 10x nữa mà tính là 11x-x xem có ra 10x không. Tận cùng của 11x bao giờ cũng là 89 trước đó là n-2 số 9, so với x là có n số 9 thì rõ là chẳng bằng nhau để mà trừ tròn đi được.
Gaup
21-06-06, 20:24
1/3 = 0.3333..., 2/3=0.66666..., mấy cái ...kia đều imply là dư ra một ít 1/3+2/3=0.3333 + dư ra một ít + 0.6666 + dư ra một ít = 0.9999+dư ra hai ít. Cái tổng dư ra hai ít kia chính = 1-0.9999=0.0001. Ông Bi ăn gian mất cái dư ra của người ta.
wasabi
21-06-06, 20:48
1/3 = 0.3333..., 2/3=0.66666..., mấy cái ...kia đều imply là dư ra một ít 1/3+2/3=0.3333 + dư ra một ít + 0.6666 + dư ra một ít = 0.9999+dư ra hai ít. Cái tổng dư ra hai ít kia chính = 1-0.9999=0.0001. Ông Bi ăn gian mất cái dư ra của người ta.
Eric, this is the problem - 1/3 = .333... by definition. It's not an approximation, it's a NOTATIONAL representation of the exact number you get when dividing one by three. Does this number actually exist, in reality? Could you divide a pear into three perfectly equal parts? No...because pears are made up of non-continuous components (subatomic particles) which can not be infinitely divided (to our knowledge). But that presents no problem for formal mathematics, because formal mathematics deals entirely with Platonic concepts - the world of the perfect. You can conceptualize of a purple flying goat; we could even draw one, have a biologist and a physicist work out the dynamics of its physiology, how it flies, etc. Does that mean it exists? No - it just means we can describe it. Repeating decimal representations are notation for a mathematical concept, not an approximation of some real-life quantity. It is exact, by definition.

Also by definition, if there is no number between two real numbers, then the two numbers are identical. There is no number between .999... and 1, therefore they are equal BY DEFINITION. Arguing otherwise requires a complete misunderstanding of mathematical notation. One might as well argue that false can be true, or that if a = b and b = c then it's possible that a != c. They're logical impossibilities. The only people who would make those arguments would be people who do not actually understand the notation involved.
namcs
21-06-06, 20:53
Eric, this is the problem - 1/3 = .333... by definition. It's not an approximation, it's a NOTATIONAL representation of the exact number you get when dividing one by three. Does this number actually exist, in reality? Could you divide a pear into three perfectly equal parts? No...because pears are made up of non-continuous components (subatomic particles) which can not be infinitely divided (to our knowledge). But that presents no problem for formal mathematics, because formal mathematics deals entirely with Platonic concepts - the world of the perfect. You can conceptualize of a purple flying goat; we could even draw one, have a biologist and a physicist work out the dynamics of its physiology, how it flies, etc. Does that mean it exists? No - it just means we can describe it. Repeating decimal representations are notation for a mathematical concept, not an approximation of some real-life quantity. It is exact, by definition.

Also by definition, if there is no number between two real numbers, then the two numbers are identical. There is no number between .999... and 1, therefore they are equal BY DEFINITION. Arguing otherwise requires a complete misunderstanding of mathematical notation. One might as well argue that false can be true, or that if a = b and b = c then it's possible that a != c. They're logical impossibilities. The only people who would make those arguments would be people who do not actually understand the notation involved.
em chỉ thấy cái bác trên viết rất ư là leng keng mà không lấp lánh tẹo nào. Cái ý duy nhất bác í đúng là 1/3=.333.. (vô cùng số 3, không có tẹo nào phía sau cả). Nhưng vấn đề ở chỗ vì sao .3333..+ .6666...=.9999... ? .3+.6=.9 thì đúng chứ vô cùng số 3 + vô cùng số 6 chưa hẳn đã là vô cùng số 9.
Gaup
21-06-06, 20:56
Vấn đề là 0.99999... chỉ là biểu diễn của real number chứ không phải là một unique real number. Cái notation ... mang nghĩa tùy chọn số các chữ số 9 tiếp theo. Nó có thể là 0.99999999 mà cũng có thể là 0.999999999999999 mà cũng có thể là 0.9999999999999999. 0.9999....phải được hiểu là một tập của các số có số chữ số 9 tùy thích ở sau dấu ,. Đ ai lại đi so một tập hợp các số với một số cụ thể để bảo ở giữa chúng nó ko có gì nên cái tập hợp đấy phải bằng số thực đấy. So thế thì khác gì so quả chuối với trym cu Bi.
wasabi
21-06-06, 21:01
@ Bác Nam: Cộng số với số là ra chứ có vấn đề gì. Chắc vấn đề chưa phải ở chỗ đó (???) - Đây là vấn đề tương ứng 1-1 chứ đâu có gì phức tạp?
0.333333...3...
0.666666...6... +
________
0.999999...9...
namcs
21-06-06, 21:02
.999.. là kí hiệu của 0+.+ ∞ số 9 bác Gau ạ

cái sự chả phức tạp gì đó mới là quan trọng đc Bi à.

Sở dĩ đc nói "được" là vì trước giờ học cộng từ phải qua(tức là rà = tay từ phải qua), cho nên:

3
+
6
_
9
hay
33333333333333
+
66666666666666
----------------
99999999999999

rất là hợp lí, nhưng với oo số 3 và oo số 6, ta biết bắt đầu(như cái cách rà thủ công ở trên) từ đâu.
wasabi
21-06-06, 21:13
Có lẽ cách nói của bác Nam để em nghĩ kỹ đã rồi sẽ argue với bác, nhưng em càng ngẫm nghĩ càng thấy vị giáo sư kia đúng.

PS: Số 0.33.. bắt nguồn từ lý thuyết 1/3=0.33.. Mà như thế 0.33.. x 3 phải =1 chứ ko phải bằng 0.99.. Em nghĩ các bác nên tập trung vào 2 cái câu hỏi sau:

1. Có số nào giữa 0.99.. kia và 1 không?
2. 0.99.. x 0.99.. < 0.99 ?
namcs
21-06-06, 21:20
1.sao lại không nhỉ? ở giữa 2 số đó có (.99..+1)/2
2. bản thân cái kí hiệu .99.. chưa thể nói nó là 1 số duy nhất được, tức là "not a unique real number".
nghuy
21-06-06, 21:51
1. Vì sao ∞ = ∞ -1
Cái này sai mẹ nó rồi ∞ là một khái niệm chứ cóc phải là số mà đem cộng trừ nhân chia.
wasabi
21-06-06, 21:53
1.sao lại không nhỉ? ở giữa 2 số đó có (.99..+1)/2
Thế cái số ấy lại chính là cái số .99.. ạ? Vì bản thân nó đã có vô hạn số 9 đứng đằng sau.

Hay là nó phải là cái số .99....5. Mà nếu là số .99...5 thì số này thậm chí còn nhỏ hơn số .99... kìa!
wasabi
21-06-06, 22:03
Vấn đề là 0.99999... chỉ là biểu diễn của real number chứ không phải là một unique real number. Cái notation ... mang nghĩa tùy chọn số các chữ số 9 tiếp theo. Nó có thể là 0.99999999 mà cũng có thể là 0.999999999999999 mà cũng có thể là 0.9999999999999999. 0.9999....phải được hiểu là một tập của các số có số chữ số 9 tùy thích ở sau dấu ,.
Vớ vẩn. Vô hạn số 9 đứng đằng sau là vô hạn số 9 đứng đằng sau. Bác em xem lại khái niệm về vô hạn và any đê.

Cái số 0.99.. trên lý thuyết là nó có vô hạn số 9 đứng đằng sau vì thế trên lý thuyết nó lớn hơn bất kỳ số nào < 1. Mà nếu nó đã lớn hơn bất kỳ số nào < 1 thì dĩ nhiên là ở giữa nó với số 1 không còn số nào khác.
namcs
21-06-06, 22:07
Thế cái số ấy lại chính là cái số .99.. ạ? Vì bản thân nó đã có vô hạn số 9 đứng đằng sau.

Hay là nó phải là cái số .99....5. Mà nếu là số .99...5 thì số này thậm chí còn nhỏ hơn số .99... kìa!
.999..(∞ số 9 gọi tạm là ∞1)5 thì làm sao nhỏ hơn .999..(∞1 số 9)+ .000(∞1 số 0)5. Cái .000...5 dư ra> 0 rồi.

tóm lại là có thể có vô cùng số 9, 2 lần vô cùng số 9, rất vô cùng số 9, vô cùng cái sự vô cùng số 9,... tóm lại là giữa .999.. vô cùng tuyệt vời số 9 và 1 vẫn có 1 .999... đa vô cùng (hưng phấn) số 9 nữa, hé hé :D
wasabi
21-06-06, 22:11
Hố, nhưng số 0.999 nó có vô hạn số 9 đứng đằng sau, bác Nam em nhớ cho là như thế.

Tức là thế này.

Cái ∞1 số 9 của bác nó không kết thúc bằng số 0, mà nó kéo tiếp số 9 cho đến... tết Công Gô. Tức là kiểu gì kiểu, nó vẫn kết thúc bằng số 9. Cái "Trung bình cộng" kia của bác nó kết thúc bằng số 5. Làm sao mà cái số 5 kia lớn hơn số 9 được? :)
namcs
21-06-06, 22:13
"kết thúc bằng số 9", "kết thúc bằng số 5".

Đã "cho đến... tết Công Gô" thì sao có "kết thúc được"?
wasabi
21-06-06, 22:15
Được rồi bác Nam em, em nói thế để mình dễ hình dung thôi.

Bác em lại nhận định là vẫn có một số .99 nào đó > số .99 nào đó --- thế là thế khỉ nào?

Cái số .99... kia có n=∞ số 9 sau decimal point. Mà bác em lại nói vẫn còn 1 cái ∞+1 lớn hơn ∞ nữa thì đé,o hiểu phải cãi thế nào.
namcs
21-06-06, 22:24
không, cái "kết thúc" và "kéo dài mãi" rất là quan trọng. Bởi ta hoàn toàn có thể viết: .999..999(∞)5. Bởi vì sau cái vô cùng ấy, hoàn toàn có thể có 1 cái khác. (trường hợp 1/3=.333... thì chả có số gì khác sau nó cả). Nhưng số lượng số 9 vẫn là vô cùng.

Vô cùng không có nghĩa là tất cả.
namcs
21-06-06, 22:26
vì dụ thế này dễ hiểu: từ bàn tay tới vai có vô cùng điểm, nhưng sau bàn tay lại còn có ngón tay nữa.
Gaup
21-06-06, 22:26
Bây giờ thử thế này:

Biểu diễn số 0.99999.... thành ∑9*10^-n n=1,2,3,... = 9*∑(1/10)^n

Giờ phải chứng minh 9*∑(1/10)^n = 9/9 hay ∑(1/10)^n= 1/9

Làm được không nhở?


10^-n muôn năm
wasabi
21-06-06, 22:31
Bây giờ thử thế này:

Biểu diễn số 0.99999.... thành ∑9*10^-n n=1,2,3,... = 9*∑(1/10)^n

Giờ phải chứng minh 9*∑(1/10)^n = 9/9 hay ∑(1/10)^n= 1/9

Làm được không nhở?


10^-n muôn năm
http://upload.thanhnienxame.net/members/5d75d87f71.png
NOSHNA
21-06-06, 22:37
Em nghĩ cu Bi hơi bị nhầm giữa khái niệm bằng và gần bằng. Mấy cái chuỗi đấy là để tình gần đúng các số. Ví dụ như số Pi cũng được tính gần đúng chứ không phải là chính xác.

Em thấy cái đoạn anh Gấu giải thích 1/3=0.33333 và dư ra một tí dễ hiểu nhất. Một tí đấy chính là gần đúng chứ không đúng, cái dư này nó lớn hơn không (>0). Thế là được rồi khác rồi, lớn hơn rồi.

Công nhận bạn nam học rất vững toán. Mấy cái phép cộng với mấy số này phải định nghĩa trước khi áp dụng.
Gaup
21-06-06, 22:38
Nhèo gì, thằng Bi nhanh tay quá.

Cái công thức kia imply là lim of cái geometric series đấy là như thế chứ có phải bảo nó chính là cái đấy đâu. lim = 1 không có nghĩa là cái sum đấy =1. Không nhớ chuyện thỏ và rùa chạy đua à?
NOSHNA
21-06-06, 22:38
Bi ơi..cái dấu bằng trong chuỗi kia là dấu gần bằng. chú không phải bằng..Kể cả khi nó tiến ra vô cùng, vế trái vẫn nhỏ hơn vế phải
wasabi
21-06-06, 22:38
Em thấy cái đoạn anh Gấu giải thích 1/3=0.33333 và dư ra một tí dễ hiểu nhất.
Dễ hiểu, nhưng mà lại sai. Hố hố :D
Chính xác là cái này

1/3 = 0.333333333333........

PS: Đấy là định nghĩa của cái số 0.333333333.......
Gaup
21-06-06, 22:42
Sai đ gì mà sai...

Cái dấu ... bản chất của nó là nếu cứ làm tính tiếp thì cái kết quả này cứ giống y thế và cứ viết dài mãi ra nên thôi tôi ép nó lại đây...cái này là một cái compactification chứ đâu phải là một số.

Trong trường hợp này cái 0.3333...cũng là một notation kiểu + vô cùng được coi là one-point compactification của số thực. Đ phải là một số.
wasabi
21-06-06, 22:44
vì dụ thế này dễ hiểu: từ bàn tay tới vai có vô cùng điểm, nhưng sau bàn tay lại còn có ngón tay nữa.
Thế thì hai cái ấy đều là vô cùng và không thể nói số điểm từ bàn tay tới vai nhiều hơn số điểm từ ngón tay tới vai được. Nghe thì khôi hài nhưng mà 2 tập hợp có vô vàn thành viên thì không so sánh cái nào to hơn cái nào được.

Vì mỗi cái này của anh tôi đều tìm cách có được một cái khác của tôi tương ứng với cái của anh, tôi không thua anh điểm nào. Cho khoảng cách từ vai tới bàn tay là s1, tới ngón tay là s2. Vậy thì với điểm x2 bất kỳ thuộc s2 luôn có 1 điểm x1 thuộc s1 xác định bằng x1=x2*(s1/s2).
NOSHNA
21-06-06, 22:44
Nếu 1/3= 0.[3] thì nghĩa 0.[3] là khác với số 0.3333333 vô cùng em ạ! [] là một biểu thức thôi.
Gaup
21-06-06, 22:45
Hố hố, thằng Bi vào đọc cái này...

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_paradox_of_the_Grand_Hotel
wasabi
21-06-06, 22:48
Hố hố, thằng Bi vào đọc cái này...

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_paradox_of_the_Grand_Hotel
Gấu đưa Wikipedia ra dọa em á. Vãi sợ! :D
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_0.999..._equals_1
NOSHNA
21-06-06, 22:52
Bi em anh không biết giải thích thế nào cho đúng. Đành dùng lại lời bác Gấu nhưng cụ thể hơn.

Anh có 100 kg gì đấy muốn chia làm 3, Đầu tiên anh chia 3 phần mỗi phần 30 kg. Dư 10kg anh lại chia 3kg cho mỗi phần dư ra 1kg..lại chia ra dư thế...rất nhiều lần..

Cái phần dư luôn tồn tại tiến đến 0 nhưng không bao giờ bằng 0. Chính vì thế mà
1/3 không bằng 0.333333 vô tận 3.

Nếu định nghĩa
1/3=0.[3] thì nghĩa là 0.[3]=0.333333...+ một phần nhỏ nhỏ nữa..

Thế nên làm sao mà bằng được. Hiểu không? Do em bị lẫn từ trong định nghĩa
namcs
21-06-06, 22:55
Thế thì hai cái ấy đều là vô cùng và không thể nói số điểm từ bàn tay tới vai nhiều hơn số điểm từ ngón tay tới vai được. Nghe thì khôi hài nhưng mà 2 tập hợp có vô vàn thành viên thì không so sánh cái nào to hơn cái nào được.

Vì mỗi cái này của anh tôi đều tìm cách có được một cái khác của tôi tương ứng với cái của anh, tôi không thua anh điểm nào. Cho khoảng cách từ vai tới bàn tay là s1, tới ngón tay là s2. Vậy thì với điểm x2 bất kỳ thuộc s2 luôn có 1 điểm x1 thuộc s1 xác định bằng x1=x2*(s1/s2).
ặc, cái ví dụ đó chỉ để nói là (.99..+1)/2 có vô cùng số 9, nhưng không có nghĩa là ko được có số 5 đằng sau.
còn cái nghịch lí khách sạn trong wiki có 1 cái "Argument for the existence of God" làm m nhớ tới bác quyzen, bác ấy trích cái gì mà "nghịch lí đấng toàn năng" của lão rậm râu nào đấy:

"nếu anh nói Chúa toàn năng thì Chúa có tạo ra hòn đá mà ngài không nhấc được không?".

em thấy câu này ngụ ý rất là 4`. các bác xem hộ.

hehe, đổi đề tài đê các bác em.. :D
NOSHNA
21-06-06, 22:58
Nam ơi cái đấy chưa chắc nên dùng
bởi vì
ban phải giả sử 1 lớn hơn 0.99999999 nữa. Cái đấy mình chưa chứng minh được làm sao mà lại dùng ngay đúng không? Chỉ khi nào bạn chứng minh đươc 1> 0.999999..
thì mới suy ra có số ở giữa là (1+0.9999)/2
wasabi
21-06-06, 22:58
Bi em anh không biết giải thích thế nào cho đúng. Đành dùng lại lời bác Gấu nhưng cụ thể hơn.

Anh có 100 kg gì đấy muốn chia làm 3, Đầu tiên anh chia 3 phần mỗi phần 30 kg. Dư 10kg anh lại chia 3kg cho mỗi phần dư ra 1kg..lại chia ra dư thế...rất nhiều lần..

Cái phần dư luôn tồn tại tiến đến 0 nhưng không bao giờ bằng 0. Chính vì thế mà
1/3 không bằng 0.333333 vô tận 3.

Nếu định nghĩa
1/3=0.[3] thì nghĩa là 0.[3]=0.333333...+ một phần nhỏ nhỏ nữa..

Thế nên làm sao mà bằng được. Hiểu không? Do em bị lẫn từ trong định nghĩa
Đấy là bác hình dung xôi thịt cái 0.3333... tròn trĩnh tinh khiết trinh nguyên và tuyệt vời của em.

0.33|3 (repeating) is equal to 1/3. It is not rounded to 1/3, unlike 0.3, 0.33, 0.333 or any other numeric string with a finite number of decimals. There are limitations of notation with any number base, and one of the ones in base-10 is the decimal representation of numbers like 1/3.

Bác Anh Sơn Trở lại trang 1 của cái nghị luận này để biết vì sao 1/3 chính bằng .33...



Eric, this is the problem - 1/3 = .333... by definition. It's not an approximation, it's a NOTATIONAL representation of the exact number you get when dividing one by three. Does this number actually exist, in reality? Could you divide a pear into three perfectly equal parts? No...because pears are made up of non-continuous components (subatomic particles) which can not be infinitely divided (to our knowledge). But that presents no problem for formal mathematics, because formal mathematics deals entirely with Platonic concepts - the world of the perfect. You can conceptualize of a purple flying goat; we could even draw one, have a biologist and a physicist work out the dynamics of its physiology, how it flies, etc. Does that mean it exists? No - it just means we can describe it. Repeating decimal representations are notation for a mathematical concept, not an approximation of some real-life quantity. It is exact, by definition.

PS: Ở SGK của chúng mình cũng có nói đến cái 0.[3] :)
NOSHNA
21-06-06, 23:01
Rồi hỏi em cái, theo em 0.999999 là một số hay là một tập hơp?
wasabi
21-06-06, 23:03
Rồi hỏi em cái, theo em 0.999999 là một số hay là một tập hơp?
Là một số cấu thành từ số 0 đứng đầu dấu phảy và sau là một tập hợp vô hạn số 9 theo sau :D
NOSHNA
21-06-06, 23:06
Không được Bi ạ, nếu đã định nghĩa 1/3=0.33333 với cái dấu . là NOTATIONAL resentation sign thì nghĩa là nó đã khác với 1/3 =0.3333 với dấu . là decimal point rồi em ạ!
Ở đấy dấu . trong trường hợp đầu tiên phải định nghĩa rõ ra thế. Khi đấy 3*1/3=1 thì mới đúng.
wasabi
21-06-06, 23:11
Không được Bi ạ, nếu đã định nghĩa 1/3=0.33333 với cái dấu . là NOTATIONAL resentation sign thì nghĩa là nó đã khác với 1/3 =0.3333 với dấu . là decimal point rồi em ạ!
Ở đấy dấu . trong trường hợp đầu tiên phải định nghĩa rõ ra thế. Khi đấy 3*1/3=1 thì mới đúng.
Em khẳng định chỉ có 1 loại dấu , hay . gì đó trên đời là decimal point. Và theo định nghĩa thì cái 0.333... (với . là decimal point) chính xác bằng 1/3.

Nhưng cái 0.333... x 3 = 1 thì đúng (theo định nghĩa), còn 0.333... x 3 = 0.999... thì em không chứng minh được :(.

Thê nên em mới bảo là chạy theo hướng này:
1. Có tìm được số nào > .999.. và < 1 không? Nếu không thì dĩ nhiên .999...=1!
2. 0.99.. x 0.99.. = ?
NOSHNA
21-06-06, 23:13
Anh nghĩ số 0.999999 (vô cùng 9) theo định nghĩa với dấu . là decimal point là phần tử kế sát ngay phần tử 1 trong tập số thực. Ta không tìm được số nào đứng giữa hai phần tử này. Còn lại tùy em đấy. Bạn Nam với bác Gấu viết đi..em giải thích mãi mà Bin nó không chịu
wasabi
21-06-06, 23:14
Anh nghĩ số 0.999999 (vô cùng 9) theo định nghĩa với dấu . là decimal point là phần tử kế sát ngay phần tử 1 trong tập số thực. Ta không tìm được số nào đứng giữa hai phần tử này. Còn lại tùy em đấy. Bạn Nam với bác Gấu viết đi..em giải thích mãi mà Bin nó không chịu
Nếu như thế là chính bác em đang đá vào chân bác em. Nếu không tìm được cái nào ở giữa chúng nó thì bác em là người đang đi theo trường phái wasabism.
Gaup
21-06-06, 23:15
Là một số cấu thành từ số 0 đứng đầu dấu phảy và sau là một tập hợp vô hạn số 9 theo sau :D

vô hạn bản thân nó đã đ phải một số thì cái mà có vô hạn các chữ số cũng ko phải là một số.


it's a NOTATIONAL representation of the exact number you get when dividing one by three.

exact number implies một số, unique solution. Cái này đ có bởi quá trình tính tóan ra cái số "exact" này cũng kéo dài vô hạn trong thời gian luôn. Một cái máy tính bắt đầu làm phép chia 1/3 từ lúc khởi sinh vũ trụ đến giờ vẫn đang ngày đêm ròng rã nhổ ra các số 3 liên tiếp không ngừng nghỉ và tình hình là máy tính này chạy đến tận cùng thời gian luôn cũng không produce được cái số exact này. Cái 1/3=0.3333.... chỉ là một cái biểu trưng của cái số này vào bất kỳ lúc nào chứ không phải là kết quả chính xác vì đến giờ cũng chưa có kết quả chính xác.

Hình ảnh biểu trưng của một sự vật không phải là sự vật đó, cái bóng của thằng Bi ko phải là thằng Bi.
NOSHNA
21-06-06, 23:19
Bi anh phản chứng cho dễ. Nếu 0.99999=1 thì 0.9999998 cũng bằng 0.9999999
tương tự 0.9999997=0.999998..cuối cũng em cứ như thế suy ra..số thực nào cũng bằng nhau. 1=2=3=4=5=6=7=8=9..=..

Đúng không nó giống 1 đống cát đã lấy đi 1 hạt cát vẫn là 1 đống cát..Lấy thêm hạt nữa vẫn là 1 đống cát nhưng lấy vô hạn số lần hạt cát. Một đống cát chỉ bằng 1 hạt cát....Tương tự thế ấy mà
namcs
21-06-06, 23:20
Nếu như thế là chính bác em đang đá vào chân bác em. Nếu không tìm được cái nào ở giữa chúng nó thì bác em là người đang đi theo trường phái wasabism.
nhưng mờ theo học thuyết namcsism thì giữa 1 số .999.. xác định nào đó và 1 còn có quá trời (vô cùng vô cùng vô cùng...) .999... khác.
:75:
wasabi
21-06-06, 23:24
vô hạn bản thân nó đã đ phải một số thì cái mà có vô hạn các chữ số cũng ko phải là một số.



exact number implies một số, unique solution. Cái này đ có bởi quá trình tính tóan ra cái số "exact" này cũng kéo dài vô hạn trong thời gian luôn. Một cái máy tính bắt đầu làm phép chia 1/3 từ lúc khởi sinh vũ trụ đến giờ vẫn đang ngày đêm ròng rã nhổ ra các số 3 liên tiếp không ngừng nghỉ và tình hình là máy tính này chạy đến tận cùng thời gian luôn cũng không produce được cái số exact này. Cái 1/3=0.3333.... chỉ là một cái biểu trưng của cái số này vào bất kỳ lúc nào chứ không phải là kết quả chính xác vì đến giờ cũng chưa có kết quả chính xác.

Hình ảnh biểu trưng của một sự vật không phải là sự vật đó, cái bóng của thằng Bi ko phải là thằng Bi.
Bây giờ đến phiên nghị luận .333... có phải là 1 số không? Nó LÀ một số chứ là cái con gì đâu? Điều này dễ tưởng tượng hơn nhiều khi mà bác em không dùng hệ 10 nữa, mà bác em thay con mịa mặt cái đồng hồ, số 12 bằng số 1. Bác gắn con số .333... đẹp đẽ của em vào vị trí góc 120 độ thì tất nhiên là con số ấy vô cùng vô cùng đẹp đẽ và đồng nó sẽ chỉ chính xác cho bác con số .333... đẹp đẽ của em. Không có một sai số nào ở đây cả. Con số chính xác của 1/3 chính là .333... Các bác không tin ạ?

Đó là định nghĩa con số .333... yêu thương của em đấy chứ là gì.
NOSHNA
21-06-06, 23:24
nhưng mờ theo học thuyết namcsism thì giữa 1 số .999.. xác định nào đó và 1 còn có quá trời (vô cùng vô cùng vô cùng...) .999... khác.
:75:
không đồng ý với bạn Nam điểm này. Lại quay về chỗ ban đầu. 0.999 là số hay là phần tử của 1 tập hợp .Vô cùng 9 cơ mà nên bạn không thể tìm được số nào giữa phần tử 1 và phần tử 0.9999. Nếu Nam đang ở Pháp thì có 7 quyển toán học cao cấp gì đấy mình quên bố rồi. Viết về định nghĩa tập hợp rất hay..
Gaup
21-06-06, 23:29
Cũng giống như giờ anh bảo bây giờ tôi có 7000 đô, thằng Bi hỏi đưa xem, anh chỉ đưa ra được 1000, thằng Bi hỏi 6k kia đâu. Anh bảo 6k kia là số tiền chính xác mà anh sẽ thắng độ trận Argentina sẽ diễn ra trong một thời gian bất định trong tương lai, khả năng Ârgentin thắng là 100%, tuy nhiên cái odd tiền độ thay đổi những khỏang nhỏ li ti tiến dần về cái odd làm cho anh sẽ thắng 6k nhưng ko bao giờ là 6k chính xác cả. Phức tạp nhở. 6k đấy chắc biểu diễn được thành 5.9999..... theo Bi là một exact number =6000.
wasabi
21-06-06, 23:29
Chính thức tuyên bố đến giờ phút này những người theo trường phái wasabism Xít (0.99999....=1) là: Wasabi, AnhSon. Những kẻ chống đối theo trường phái Nam Cờ Xít là: Namcs, Gaup.
NOSHNA
21-06-06, 23:30
Bác gắn con số .333... đẹp đẽ của em vào vị trí góc 120 độ thì tất nhiên là con số ấy vô cùng vô cùng đẹp đẽ và đồng nó sẽ chỉ chính xác cho bác con số .333... đẹp đẽ của em. Không có một sai số nào ở đây cả. Con số chính xác của 1/3 chính là .333... Các bác không tin ạ?



Hình học lớp mấy mấy anh quên rồi chứng minh không thể nào chia 1 góc ra làm 3 phần bằng nhau bằng thước kẻ và compa (không chơi đo góc nhá). Đừng đem so góc 45 độ bằng 3 góc 15 độ ra nhá. Cái này anh hoàn toàn quên sạch nên để bạn Nam giải cho.
namcs
21-06-06, 23:31
bác Son em,
.999 í nói không phải là phần tử của tập hợp gì cả, mà đơn giản là nếu chỉ sử dụng 10 chữ số, dấu ., bút viết viết trên giấy thì không thể phân biệt giữa các .99.. với nhau. Chứ giờ mà mở rộng ra phân số, là rõ ngay ấy ạ.

Tóm lại là các số khác nhau, do hạn chế của cách biểu diễn số học nên nhìn giống nhau.

ps: bác chừng nào nhớ tên mấy cuốn đó thì pm cho m nhé, cảm ơn bác.
NOSHNA
21-06-06, 23:31
Chính thức tuyên bố đến giờ phút này những người theo trường phái wasabism Xít (0.99999....=1) là: Wasabi, AnhSon. Những kẻ chống đối theo trường phái Nam Cờ Xít là: Namcs, Gaup.
Không anh không bảo 0.9999 bằng 1 anh cãi từ nãy đến giờ..Hic hic..Hai phần tử liền kề nhau thì đâu có bằng nhau. Bi em xem lại anh viết cái coi.
wasabi
21-06-06, 23:35
Hình học lớp mấy mấy anh quên rồi chứng minh không thể nào chia 1 góc ra làm 3 phần bằng nhau bằng thước kẻ và compa (không chơi đo góc nhá). Đừng đem so góc 45 độ bằng 3 góc 15 độ ra nhá. Cái này anh hoàn toàn quên sạch nên để bạn Nam giải cho.
Ai bắt bác dùng thước kẻ compa?
Gaup
21-06-06, 23:36
Ồ, anh đ tin con số đẹp đẽ đấy của Bi sẽ hiện rực rỡ lên. Nếu hiện được thì nhờ cu đặt đồng hồ cho anh để anh dậy chính xác vào giờ đấy.

Nên nhớ 360 độ cũng chỉ là một quy ước vì số này có nhiều tử số. Giả sử người ta quy ước là số góc trong một hình tròn là 1 độ thì để xác định chỗ góc 120 độ ban đầu của thằng Bi chúng ta lại quay về nơi xuất phát.
wasabi
21-06-06, 23:37
Không anh không bảo 0.9999 bằng 1 anh cãi từ nãy đến giờ..Hic hic..Hai phần tử liền kề nhau thì đâu có bằng nhau. Bi em xem lại anh viết cái coi.
Ok giả sử em có cái số 0.[3] đẹp đẽ và tròn trĩnh (=1/3) như bác muốn rồi, thế có nghĩa là nếu em có tiếp 1 con số 0.[9] đẹp đẽ và tròn trĩnh tương tự như con 0.[3] kia thì nó có bằng 1 không?

PS: Tắm phát các bác, em tạm đình chiến trong 20 phút.
Gaup
21-06-06, 23:43
Nói cho đúng thì vị trí chính xác của các góc 120 độ và 240 độ đều không thể xác định được. Mọi biểu diễn đều sai.
Gaup
21-06-06, 23:51
Ok giả sử em có cái số 0.[3] đẹp đẽ và tròn trĩnh (=1/3) như bác muốn rồi, thế có nghĩa là nếu em có tiếp 1 con số 0.[9] đẹp đẽ và tròn trĩnh tương tự như con 0.[3] kia thì nó có bằng 1 không?

PS: Tắm phát các bác, em tạm đình chiến trong 20 phút.

Không giả sử, bởi giả sử này không valid. Chỉ khi nào chú có kết quả trọn vẹn của phép chia 1/3 không còn dư gì hết thì mới có thể dùng nó để xác định góc 120 độ để đặt số kia. Nếu phép tính kia chưa xong thì mọi kết quả đều chỉ là xấp xỉ ...approximation thôi.

Anh có 1 hình tròn giờ anh phải tìm vị trí các góc 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315...vv

Anh sẽ làm thế này: 1/2 = 0.5, 0.5/2=0.25

tính phát ra kết quả ngay.

Giờ phải tìm góc 120 anh óanh vào máy tính 1/3...máy chạy mãi không xong, cuối cùng sốt ruột anh vớ đại một kết quả đang hiện ra trên màn hình, khi anh chép xong kết quả đấy nhìn lên thì lại thấy có một lọat số 3 nữa đã hiện ra, anh lại chép tiếp, đến lúc chép xong thì thấy một lọat số 3 nữa đã hiện ra....xong thì anh dừng nhưng anh hiểu rằng vào bất kỳ lúc nào kết quả của anh đều có sai số.
NOSHNA
21-06-06, 23:51
Wasabi:
Định nghĩa em còn chưa nắm vững nên em đi lên cao bị nhầm. Cái này anh nói hết lời rồi thôi coi như anh thua em đi. Nói chung không quan trọng lắm. Có điều nếu nghĩ như em thì tập số thực chỉ có 1 giá trị. Mình tranh luận thế này để làm gì nhở?

Khi áp dụng vào engineering mấy cái này chẳng có giá trị gì sất. Anh làm kỹ thuật nên cãi cái này nghĩa là tự đi ngược với tôn chỉ của kỹ thuật: sai số :tolerance luôn tồn tại trong mọi bản vẽ kỹ thuật. Thế thôi, sai số có thể biến 1 thành 1.5 hay 1.7. Chẳng ai trong bọn anh hỏi 1 có bằng 0.99999 hay không? Khi anh đo một cái gì đấy trong tùy trường hợp phải lấy sau dấu phẩy bao nhiêu số thôi. Ví dụ em thường thấy độ tinh khiết của khí dùng trong công nghiệp là 0.999 999 999 (9 chữ số 9) . Nếu theo bọn anh thì là không tinh khiết, nhưng theo một số người nào đấy nó lại là khí tinh khiết. Giới hạn giữ 0.9999 và 1 nó là một biên giớ mong manh. Được chưa? Lăn tăn quá nhiều hại người phải không em?

@Nam hình như 7 quyển đấy để dạy cho bọn năm 1 năm 2 trong Ecole Polytechnique, mình nhớ mang máng thế chứ quên cha tên rồi. 3 quyển đầu là đại số tập hợp, chuỗi, cái của khỉ gì gì hoa hết cả óc. 4 quyển sau là hình học và lượng giác. Mười mấy năm mình không động đến toán không nhớ lắm.
wasabi
22-06-06, 00:00
OK, let's start over. Bây giờ tưởng tượng bác Gấu một ngày đẹp trời đố bác Anh Sơn giải bài này:

1/3 = ???

Sau nhiều ngày vật lộn với không biết bao nhiêu là giấy mực, Anh Sơn quyết định đưa kết quả của mình cho Gấu, là 0.[3] tức là số 0.33333333333333333333333... viết mãi không bao giờ hết. Hắn mới viết được có chừng 1 cái nhà kho số 3... Hắn còn dọa Gấu - kết quả của tao là một kết quả chính xác, số 0.[3] này tồn tại thật trên đời mày cứ nhìn vào số 4 của đồng hồ và sẽ thấy con số đó.

Hôm sau, Gấu lại hỏi

1/(3/2) = ?

Anh Sơn sau nhiều ngày vật lộn lại tiếp tục đưa cho Gấu tờ kết quả thế này:

1/(3/2) = (1/3) * 2 = 0.[6]
và dòng chữ nguệch ngoạc
MÀY CỨ THAY TẤT CẢ SỐ 3 BẰNG SỐ 6 Ở KẾT QUẢ CŨ CỦA TAO THÌ THẤY.
Cùng với tràng giang đại hải nào là giấy viết 0.66666666666666666666666666666

Hôm sau Gấu lại đố Anh Sơn:
1/(3/3) = ?

Anh Sơn sau nhiều ngày vật lộn đến lần này tiếp tục đưa cho Gấu tờ kết quả thế này:
1/(3/3) = (1/3) * 3 = 0.[9]
và dòng chữ nguệch ngoạc
MÀY CỨ THAY TẤT CẢ SỐ 3 BẰNG SỐ 9 (viết đến đây thì thấy giấy đầy máu)
Gaup
22-06-06, 00:01
Bác Noshna nói thế không phải. Vấn đề ko phải là thằng cu Bi mà cu Bi chỉ nói lại ý của thằng già gì đấy thôi. Cu Bi đang làm devil's advocate chứ ko phải nó cũng tin như thế.

Vấn đề vẫn phải là tìm ra một cách để có thể chứng minh niềm tin của lão kia sai. Em nghĩ chìa khóa nằm ở chỗ chứng minh 0.3333... không phải là một số chính xác mà chỉ là một biểu tượng. Biểu tượng ở chỗ là vào lúc này hay lúc khác giá trị của nó không giống nhau. Khi chia 1000 đô cho 3 thằng thì mỗi thằng được đến 333.3 đô thì dừng, còn thừa 10 cents thì vứt, tức là 1/3=0.3333...=0.333 nhưng nếu số tiền đấy lớn đến 1 tỷ thì mình sẽ thêm nhiều số 3 nữa, cũng có nghĩa là có 0.3333...không phải là một số chính xác cố định.
wasabi
22-06-06, 00:04
Tại sao bác G cứ phải lăn tăn là khôgn đo được chính xác góc 120 độ. Nên nhớ đây là thế giới tưởng tượng và mọi thứ đều chính xác một cách tuyệt đối. Ta chia quả cam là 2 trong đời thường tuyệt đối thế đ nào được. Nhưng trong toán ta chia làm 2, 3, 5, 7, 11 phần đều có thể tuyệt đối được.
Gaup
22-06-06, 00:04
0.[3] này tồn tại thật trên đời mày cứ nhìn vào số 4 của đồng hồ và sẽ thấy con số đó

Cái này sai, tồn tại có nghĩa là quá trình tạo ra nó đã kết thúc. Đứa trẻ chưa đẻ ra chưa thể gọi là tồn tại được như một con người độc lập chính các duy nhất. Nếu quá trình tính tóan chưa xong thì chưa thể gọi số đó là tồn tại độc lập được, sự tồn tại của số đó vẫn phụ thuộc vào quá trình tính tóan đang diễn ra.
NOSHNA
22-06-06, 00:07
Bác Noshna nói thế không phải. Vấn đề ko phải là thằng cu Bi mà cu Bi chỉ nói lại ý của thằng già gì đấy thôi. Cu Bi đang làm devil's advocate chứ ko phải nó cũng tin như thế.

Vấn đề vẫn phải là tìm ra một cách để có thể chứng minh niềm tin của lão kia sai. Em nghĩ chìa khóa nằm ở chỗ chứng minh 0.3333... không phải là một số chính xác mà chỉ là một biểu tượng. Biểu tượng ở chỗ là vào lúc này hay lúc khác giá trị của nó không giống nhau. Khi chia 1000 đô cho 3 thằng thì mỗi thằng được đến 333.3 đô thì dừng, còn thừa 10 cents thì vứt, tức là 1/3=0.3333...=0.333 nhưng nếu số tiền đấy lớn đến 1 tỷ thì mình sẽ thêm nhiều số 3 nữa, cũng có nghĩa là có 0.3333...không phải là một số chính xác cố định.

Cái này anh Gấu đúng. Em quên mất là cái bác giáo sư kia chứng minh. Em cũng cố giải thích rồi nhưng nói chung em thấy nhiều khi để chứng minh thật chặt chẽ, có lẽ em phải học lại toán. Định nghĩa thế nào là 1 thế nào 2, phép cộng trừ nhân chia...Hic hic..em xin thua.
wasabi
22-06-06, 00:10
Ok bác Gấu, vậy em đẻ ra con số W đẹp đẽ tuyệt vời của chủ nghĩa Wasabism chính là số 1/3. Đổi sang hệ thập phân thì:

W = 0.333333333333333333333.............. Viết mãi không bao giờ hết!

Vậy thì 2W trong thế giới thần tiên của em sẽ bằng bao nhiêu?

2W = 0.666666666666666666666........... Viết mãi không bao giờ hết!

Vậy trong thế giới của các bác, con số 0.9999999999999999999..... Viết mãi không bao giờ hết sẽ là bằng bao nhiêu W trong thế giới thần tiên của em?
Gaup
22-06-06, 00:13
Nói thêm điều này, tại sao cu Bi biết được là sau mỗi số 3 chắc chắn sẽ là 1 số 3 nữa? Vào bất kỳ lúc nào trong quá trình tính tóan phải tồn tại khả năng dù rất nhỏ là số tiếp theo trong dãy kết quả không phải là số 3.
namcs
22-06-06, 00:14
Cái này sai, tồn tại có nghĩa là quá trình tạo ra nó đã kết thúc. Đứa trẻ chưa đẻ ra chưa thể gọi là tồn tại được như một con người độc lập chính các duy nhất. Nếu quá trình tính tóan chưa xong thì chưa thể gọi số đó là tồn tại độc lập được, sự tồn tại của số đó vẫn phụ thuộc vào quá trình tính tóan đang diễn ra.
hé hé, bác Gấu già lẫn còn hơn đc Bi nữa.

1. .[3] tồn tại chả liên quan đến việc cái máy tính nào đó tính hoài không xong, chẳng liên quan đến việc viết hoài trên giấy không xong. Tóm lại không phụ thuộc vào quá trình tính toán của ai đó, cái gì đó.
2. .[3] tồn tại.
3. .[3] biểu diễn được: 1/3.
Gaup
22-06-06, 00:14
Ok bác Gấu, vậy em đẻ ra con số W đẹp đẽ tuyệt vời của chủ nghĩa Wasabism chính là số 1/3. Đổi sang hệ thập phân thì:

W = 0.333333333333333333333.............. không bao giờ hết sẽ là bằng bao nhiêu W trong thế giới thần tiên của em?

Đổi sang hệ thập phân thì nghe đơn giản nhưng Bi đổi như thế nào?
namcs
22-06-06, 00:17
Ok bác Gấu, vậy em đẻ ra con số W đẹp đẽ tuyệt vời của chủ nghĩa Wasabism chính là số 1/3. Đổi sang hệ thập phân thì:

W = 0.333333333333333333333.............. Viết mãi không bao giờ hết!

Vậy thì 2W trong thế giới thần tiên của em sẽ bằng bao nhiêu?

2W = 0.666666666666666666666........... Viết mãi không bao giờ hết!

Vậy trong thế giới của các bác, con số 0.9999999999999999999..... Viết mãi không bao giờ hết sẽ là bằng bao nhiêu W trong thế giới thần tiên của em?

trong thế giới namcsism, 0.999... là không rõ ràng. :D
wasabi
22-06-06, 00:19
Nói thêm điều này, tại sao cu Bi biết được là sau mỗi số 3 chắc chắn sẽ là 1 số 3 nữa? Vào bất kỳ lúc nào trong quá trình tính tóan phải tồn tại khả năng dù rất nhỏ là số tiếp theo trong dãy kết quả không phải là số 3.
Ok em có thể quy nạp. Gọi vị trí của số sau dấu decimal point m là n. Với m=1 thì dùng phép chia như này:

1 | 3
0 | 0.3
10 |
9 |
1 |

n=3. Số dư là 1

Assume là n=3 số dư 1 đúng với số m=m0. Ta thực hiện phương pháp "chia tay" như trên thì cũng chứng minh được tiếp tục kết quả sẽ bắt buộc phải là số 3.

Các bác có thể trở lại với thế giới chữ W đẹp đẽ của chủ nghĩa Wasabism.
Gaup
22-06-06, 00:23
Có thể có một nghiệm tồn tại, cái đấy em đồng ý. Nghiệm đấy có phải là 0.33333333....không thì em chưa đồng ý. Khi nào quá trình tính tóan chưa xong chưa thể biết chính xác con số thứ 17.5 tỷ hay 40 triệu tỷ có còn là số 3 nữa hay không. Nếu nó là số 4 hay số 9 thì 0.333...không còn là nghiệm chính xác của phép chia 1/3 nữa.

Giờ cu Bi chứng minh cho anh là không tồn tại khả năng có một số khác 3 trong phép tính này. Việc này có thể làm được không?
wasabi
22-06-06, 00:24
trong thế giới namcsism, 0.999... là không rõ ràng. :D
Tức là bác không thừa nhận có con số 0.999... viết mãi không bao giờ hết trên đời? Namcs, cẩn thận sút thủng lưới nhà!
wasabi
22-06-06, 00:25
Có thể có một nghiệm tồn tại, cái đấy em đồng ý. Nghiệm đấy có phải là 0.33333333....không thì em chưa đồng ý. Khi nào quá trình tính tóan chưa xong chưa thể biết chính xác con số thứ 17.5 tỷ hay 40 triệu tỷ có còn là số 3 nữa hay không. Nếu nó là số 4 hay số 9 thì 0.333...không còn là nghiệm chính xác của phép chia 1/3 nữa.

Giờ cu Bi chứng minh cho anh là không tồn tại khả năng có một số khác 3 trong phép tính này. Việc này có thể làm được không?
Xem bốt số 74 bác Gấu.
Mecado
22-06-06, 00:26
Toán học là nó thế này:
Gấu già nhìn thấy bạn gái của Bi mặc váy ngắn, đùi trắng ngồi trong lớp dịch thuật bèn làm trò dùng bút dạ viết mẹ hai số 1 vào hai bên đùi bạn gái của BÍm, rồi ngước ánh mắt dâm đãng hỏi:
Này bạn gái của Bi, thầy vừa viết số mấy ?
Bạn gái tức Gấu già lắm nhưng Gấu là thầy giáo không thể làm gì được bèn trả lời:
Dạ thầy viết số 11
Gấu già cười hô hố nói:
Em sai rồi, số 101
Mặt bạn gái của Bi đỏ rực, thấy vậy Bi bím tức quá vén quần thầy Gấu vẽ hai số 1 vào hai bên đùi thầy rồi hỏi:
Thưa thầy Gấu đấy là số bao nhiêu ạ ?
Gấu vẻ mặt dương dương tự đắc trả lời:
Trình của thầy là tiến sĩ Princeton thì câu đố toán học nhỏ nhoi ấy đáng là gì, số 111 chứ còn là gì nữa
Bạn gái Bi bím bĩu môi nhìn thầy Gấu khẽ nói:
Thưa thầy, em nghĩ thầy nhầm ạ, số đó là 1,1 ạ
Từ đấy thầy Gấu không bao giờ giảng toán nữa cho đến hôm nay...
Gaup
22-06-06, 00:47
Điều kiện để kết quả của phép chia 1 cho 3 là một dãy số các số 3 sau decimal point kéo dài vô tận là trong mọi lần chia thứ n luôn tồn tại một số dư có giá trị bằng 1*(1/10^n+1). Nói cách khác 1/3=.[3]+.[0]1

Nói 1/3=.[3] là một cách biểu diễn cho tiện lợi, phần .[0]1 kia trở nên quá nhỏ để có ảnh hưởng nhưng nếu bỏ qua số dư kia coi như nó không tồn tại thì .[3] cũng sẽ ko tồn tại như là nghiệm của phép chia 1 cho 3.
Gaup
22-06-06, 01:20
Nếu không tồn tại số dư .[0]1 thì phép chia 1/3 là chia hết. Số các chữ số 3 sẽ là hữu hạn cũng như không nhất thiết mọi chữ số sau decimal point đều là 3 ===> .[3] # 1/3.

Nếu có tồn tại số dư .[0]1 và số dư này đã được kết hợp vào trong .[3] bằng phép cộng thì trong dãy số sau dấu phẩy sẽ phải có ít nhất một chữ số không phải là 3. Điều này trái với định nghĩa .[3] là một dãy số gồm tòan các chữ số 3. Cũng có nghĩa là số dư .[0]1 chưa được kết hợp vào với .[3]. Do .[0]1 luôn lớn hơn 0, .[3] luôn là một xấp xỉ thiếu của 1/3.

Phản chứng: Nếu .[3] không phải là một xấp xỉ thiếu của 1/3 thì:

1. .[3]==1/3 hay phép chia 1 cho 3 là một phép chia hết không dư. Trong trường hợp đó .[3] sẽ chứa một số hữu hạn các chữ số 3 và vì thế .[3] khác .[3]. Tự mâu thuẫn. Sai.

2. .[3] đã hàm chứa số dư .[0]1, do là số dư nên chỉ có phép cộng là kết hợp hợp lý. Phép cộng của một số tòan số 3 sau decimal point với một số có một số 1 sau decimal point chắc chắn không phải là một số tòan số 3. Biểu diễn một số có một chữ số không phải 3 là .[3] là không đúng. Có thể kết luận là .[3] chưa kết hợp phần dư của phép chia và vì thế không thể là kết quả đủ của phép chia 1 cho 3.

Cách viết 1/3=.[3] không phải là một cách viết chính xác có ẩn ý rằng phép chia này có tồn tại số dư. Số dư này không thể bỏ qua vì nó quyết định sự tồn tại của .[3].


Anh thử bốc phét thế.
nghuy
22-06-06, 01:35
sao Bi biết là 0.33333........ + 0.666.........= 0.999.............

Nếu Bi cộng 2 số trên được thì xin Bi làm bài này
0.09000900900009.........+ 0.01001000100001.................
nolf
22-06-06, 03:04
Vầng, các bác cãi nhau ỏm tỏi quá. Các bác cho em hỏi một chút thế số pi có phải là một exact number không ạ?
wasabi
22-06-06, 06:43
Vầng, các bác cãi nhau ỏm tỏi quá. Các bác cho em hỏi một chút thế số pi có phải là một exact number không ạ?

pi = Chu vi hình tròn / 2 lần bán kính. Chính xác quá đi chứ ạ!
Chính xác đến từng na nô mét ấy chứ ạ!

Những con số như 0.99999... hoặc 3.14159265... yêu dấu của em (http://3.14159265.org/) nó không thể diễn nôm chính xác được vậy thì nó là bao nhiêu. Nhưng thế giới của toán học là thế giới của sự hoàn hảo. Chỉ cần con người tưởng tượng ra được nó.

PS: Hiện tại đang nghĩ cách bẻ Gấu ngựa nhà mình.
nolf
22-06-06, 14:32
Vầng, thế em lại hỏi Bi phát nữa :D

Thế nào là phép chia hết, và phép chia "không" hết hị hị :D
Theo biểu diễn toán học thì 1/3 hay là chu vi/(2*bán kính) thì là một dạng phân số, có tử số và mẫu số là những exact number, số này hoàn toàn có thực. do vậy pi, hoặc 1/3 là có thực nhưng nếu bác em lại gọi 0.333.... và 3.14159.... là exact number thì lại không được, hợ hợ. Nó chỉ là kết quả gần, cực gần đúng của phân số kia thôi.

Vậy nên Bi em bảo 1/3 là có thực 3*1/3 =1 là đúng, nhưng lại bảo 0.333....*3 = exact number thì không đứung, vì không thể thực hiện được phép nhân này. Đơn giản như việc nhân một số với vô cùng ý, vô cùng là ở đâu ta không biết vậy tại sao bác em dám nhân nó cơ chứ hố hố (@Lão Nông)